《高等数学基础》形考任务三参考答案国开电大学习指南

高等数学基础形考任务三参考答案：国开电大学习指南

近年来，随着社会经济的不断发展，高等教育的普及程度不断提高，越来越多的人选择通过国开电大等远程教育机构学习高等数学基础。而在学习过程中，形考任务也是必不可少的一环。本文将为大家提供高等数学基础形考任务三的参考答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

一、选择题

1. 已知函数 $f(x)=x^2+3x+1$，则 $f(-2)$ 的值为：

解析：将 $x=-2$ 代入 $f(x)$ 中，得到 $f(-2)=(-2)^2+3\times(-2)+1=1$，因此选项 C 正确。

2. 已知函数 $f(x)=\sqrt{x+1}$，则 $f(0)$ 的值为：

解析：将 $x=0$ 代入 $f(x)$ 中，得到 $f(0)=\sqrt{0+1}=1$，因此选项 B 正确。

3. 已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{x}$，则 $f(-2)$ 的值为：

解析：将 $x=-2$ 代入 $f(x)$ 中，得到 $f(-2)=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}$，因此选项 A 正确。

4. 已知函数 $f(x)=\sin x$，则 $f(\dfrac{\pi}{2})$ 的值为：

解析：将 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 代入 $f(x)$ 中，得到 $f(\dfrac{\pi}{2})=\sin\dfrac{\pi}{2}=1$，因此选项 C 正确。

5. 已知函数 $f(x)=\cos x$，则 $f(\pi)$ 的值为：

解析：将 $x=\pi$ 代入 $f(x)$ 中，得到 $f(\pi)=\cos\pi=-1$，因此选项 B 正确。

二、填空题

1. 设 $y=2x+1$，则 $x= \dfrac{y-1}{2}$。

解析：将 $y=2x+1$ 移项可得 $x=\dfrac{y-1}{2}$，因此答案为 $\dfrac{y-1}{2}$。

2. 设 $y=\dfrac{1}{x}$，则 $x=\dfrac{1}{y}$。

解析：将 $y=\dfrac{1}{x}$ 移项可得 $x=\dfrac{1}{y}$，因此答案为 $\dfrac{1}{y}$。

3. 设 $y=\sqrt{x+1}$，则 $x=y^2-1$。

解析：将 $y=\sqrt{x+1}$ 平方可得 $x=y^2-1$，因此答案为 $y^2-1$。

4. 设 $y=\sin x$，则 $x=\arcsin y$。

解析：将 $y=\sin

高等数学基础形考任务三参考答案：国开电大学习指南

在高等数学基础课程中，形考任务三是一项重要的考核内容。此次考试主要涉及高等数学的微积分、向量和空间解析几何等知识点。下面，我们来看一下国开电大学习指南为大家准备的参考答案。

1. 求函数$f(x)=x^3-3x^2+2$在$x=1$处的极值。

解：首先，我们需要求出函数的一阶导数和二阶导数：

$$f'(x)=3x^2-6x$$

$$f''(x)=6x-6$$

将$x=1$代入求得：

$$f'(1)=3-6=-3$$

$$f''(1)=6-6=0$$

由此可知，$x=1$是函数$f(x)$的一个极小值点。

2. 求函数$f(x,y)=x^2+y^2$在点$(1,2)$处的方向导数，并指出此方向导数最大的方向。

解：首先，我们需要求出函数在点$(1,2)$处的梯度向量：

$$\nabla f(1,2)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=(2,4)$$

接着，我们需要求出函数在点$(1,2)$处的方向导数。假设方向向量为$\vec{v}=(a,b)$，则有：

$$D_{\vec{v}}f(1,2)=\nabla f(1,2)\cdot\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=(2,4)\cdot\frac{(a,b)}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{2a+4b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

为了求出此方向导数最大的方向，我们需要最大化分子$2a+4b$。由于$\vec{v}$为方向向量，所以$\|\vec{v}\|=1$，即$a^2+b^2=1$。因此，我们可以使用拉格朗日乘数法来求解：

$$\begin{cases}2a+4b=\lambda a\\2a+4b=\lambda b\\a^2+b^2=1\end{cases}$$

解得$\lambda=2\sqrt{5}$，$a=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$b=\frac{4}{\sqrt{5}}$。因此，此方向导数最大的方向为$\vec{v}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$。

3. 求曲面$z=2x^2+3y^2$在点$(1,2,13)$处的切平面方程。

解：首先，我们需要求出曲面在点$(1,2,13)$处的法向量。由于曲面的方程为$z=2x^2+3y^2$，所以该点处的

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