《复变函数形考任务4挑战高难度题目》

复变函数形考任务4:挑战高难度题目

在复变函数的学习中，形考任务是不可避免的一部分。而在任务4中，我们将面临挑战性更高、难度更大的题目。本文将介绍任务4中的几道高难度题目，并探讨解题思路。

1. 设$f(z)$在单位圆内解析，且$f(0)=0$，$f'(0)=1$，证明：$|f(z)|\leq |z|$。

解析：由于$f(z)$在单位圆内解析，根据最大模定理，$|f(z)|$的最大值应该在单位圆上取到。又因为$f(0)=0$，所以可以考虑构造一个函数$g(z)=\frac{f(z)}{z}$，则$g(z)$也是在单位圆内解析的。此时，我们可以使用Schwarz引理来证明$|g(z)|\leq 1$，从而得到$|f(z)|\leq |z|$。

具体来说，我们可以考虑将$g(z)$表示成$g(z)=e^{i\theta}h(z)$的形式，其中$\theta$是一个实数，$|h(z)|=1$。由于$f'(0)=1$，所以$h(0)=1$，从而$h(z)$可以表示成$h(z)=\exp(\frac{1}{2\pi i}\int_{|w|=1}\frac{\zeta+z}{\zeta-z}\ln h(\zeta)d\zeta)$。令$z=re^{i\theta}$，则有：

$$|g(z)|=|h(z)|=|\exp(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{e^{i\theta}+re^{i\theta}}{e^{i\theta}-re^{i\theta}}\ln h(e^{i\theta})d\theta)|=|\exp(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{1+r}{1-r}\ln h(e^{i\theta})d\theta)|$$

由于$|h(e^{i\theta})|=1$，所以$\ln h(e^{i\theta})$是一个实数。因此，上式中的积分可以看成一个实数的平均值，从而可以使用Jensen不等式来估计：

$$|g(z)|\leq \exp(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\ln(\frac{1+r}{1-r})d\theta)=\frac{1+r}{1-r}$$

因此，$|g(z)|\leq 1$，即$|f(z)|\leq |z|$。

2. 设$f(z)$在单位圆内解析，且$f(0)=0$，证明：$\int_{0}^{2\pi}|f(e^{i\theta})|^2d\theta\leq \pi\int_{0}^{2\pi}|f'(e^{i\theta})|^2d\theta$。

解析：由于$f(z)$在单位圆内解析，所以可以将$f(z)$展开成幂级数的形式$f(z)=\sum

3亿多的题库，支持文字、图片，语音搜题，包含国家开放大学、广东开放大学、云南开放大学、北京开放大学、上海开放大学、江苏开放大学、超星、青书、奥鹏等等多个平台题库，考试作业必备神器。

正确 答案：微信搜索【渝粤搜题】公众号

广东开放大学 2023年春季招生简章