《国开电大21秋学期高等数学基础形考任务作业四参考答案》

国开电大21秋学期高等数学基础形考任务作业四参考答案

作为高等数学基础课程的一部分，形考任务作业四是对学生掌握高等数学基础知识的一次全面考核。本文将为大家提供国开电大21秋学期高等数学基础形考任务作业四的参考答案，希望对大家的学习有所帮助。

第一题：

已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2-4}$，求$f'(x)$。

解答：

根据导数的定义，有：

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

将函数$f(x)$代入上式，得：

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\frac{1}{(x+\Delta x)^2-4}-\frac{1}{x^2-4}}{\Delta x}$$

化简后得：

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{x^2+2x\Delta x+\Delta x^2-4-x^2+4}{(x^2-4)((x+\Delta x)^2-4)\Delta x}$$

继续化简，得：

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2x\Delta x+\Delta x^2}{(x^2-4)((x+\Delta x)^2-4)\Delta x}$$

再次化简，得：

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2x+\Delta x}{(x^2-4)(x^2+2x\Delta x+\Delta x^2-4)}$$

将$\Delta x$化为0，得：

$$f'(x)=\frac{-2x}{(x^2-4)^2}$$

因此，函数$f(x)$的导数为$f'(x)=\frac{-2x}{(x^2-4)^2}$。

第二题：

已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$，求$f''(x)$。

解答：

根据导数的定义，有：

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

将函数$f(x)$代入上式，得：

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\frac{1}{(x+\Delta x)^2-1}-\frac{1}{x^2-1}}{\Delta x}$$

化简后得：

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{x^2+2x\Delta x+\Delta x^2-1-x^2+1}{(x^2-1)((x+\Delta x)^2-1)\Delta x}$$

继续化简，得：

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2x\Delta x+\Delta x^2}{(x^2-1)(x^2+2x\Delta x+\Delta x^2-1)\Delta x}$$

再次化简，得：

$$f'(x)=\lim_{\Delta x

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