《国开电大复变函数形考任务2参考答案解析》

国开电大复变函数形考任务2参考答案解析

本文将对国开电大复变函数形考任务2的参考答案进行详细解析，帮助学生更好地理解和掌握相关知识。

1. 题目一

求函数$f(z)=\frac{1}{z^2+1}$在单位圆周$|z|=1$内的奇点和留数。

解析：首先，我们需要求出函数$f(z)$的奇点。由于$z^2+1=0$的解为$z=i$和$z=-i$，因此$f(z)$在$z=i$和$z=-i$处有极点。又因为这两个极点都在单位圆内，所以它们都是圆内点。接下来，我们需要求出这两个极点的留数。根据留数定理，当函数$f(z)$在点$z_0$处有一阶极点时，其留数为$\text{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$。因此，我们可以得到：

$\text{Res}(f,i)=\lim_{z\to i}(z-i)\frac{1}{z^2+1}=\frac{1}{2i}$

$\text{Res}(f,-i)=\lim_{z\to -i}(z+i)\frac{1}{z^2+1}=-\frac{1}{2i}$

因此，函数$f(z)$在单位圆周$|z|=1$内的奇点为$z=i$和$z=-i$，其留数分别为$\frac{1}{2i}$和$-\frac{1}{2i}$。

2. 题目二

求函数$f(z)=\frac{1}{z^2+1}$在上半平面的实轴上的奇点和留数。

解析：在上半平面的实轴上，函数$f(z)$的奇点为实轴上满足$z^2+1=0$的点。我们可以将$z=x+iy$代入$z^2+1=0$，得到$x^2-y^2+1=0$。因此，实轴上的奇点为$x=\pm\sqrt{1+y^2}$。由于我们只考虑上半平面，因此实轴上的奇点为$x=\sqrt{1+y^2}$。接下来，我们需要求出这个奇点的留数。由于这个奇点是二阶极点，我们需要使用洛朗级数展开式来求解。首先，我们需要求出函数$f(z)$在$z=\sqrt{1+y^2}$处的洛朗展开式：

$f(z)=\frac{1}{z^2+1}=\frac{1}{(z-\sqrt{1+y^2})(z+\sqrt{1+y^2})}=\frac{A}{z-\sqrt{1+y^2}}+\frac{B}{z+\sqrt{1+y^2}}$

其中，$A$和$B$为待定系数。将上式通分，并将$z=\sqrt{1+y^2

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