题库试卷

国开电大《高等数学基础》形考任务四参考答案解析

来源：百年教育职业培训中心　更新时间：2023-06-12 10:21:28

国开电大《高等数学基础》形考任务四参考答案解析本次形考任务四主要考察了学生对高等数学中极限、连续性、导数等概念和定理的掌握程度。以下是本次形考任务四的参考答案解析。1.设函数$f(x)$在$x=0$处

本次形考任务四主要考察了学生对高等数学中极限、连续性、导数等概念和定理的掌握程度。以下是本次形考任务四的参考答案解析。

1. 设函数$f(x)$在$x=0$处连续，$f(0)=1$，且$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{f(x)-1}{x}=2$，求$f(2)$。

解析：根据题意，我们可以列出以下等式：

$$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{f(x)-1}{x}=2$$

移项得：

$$\lim\limits_{x \to 0}(f(x)-1)=\lim\limits_{x \to 0}2x=0$$

因为$f(x)$在$x=0$处连续，所以：

$$f(0)=\lim\limits_{x \to 0}f(x)=1$$

又因为$f(x)$在$x=0$处连续，所以：

$$\lim\limits_{x \to 0}f(x-2)=f(0-2)=f(-2)$$

根据拉格朗日中值定理，存在$c \in (-2,0)$，使得：

$$f(-2)-f(0)=(-2-0)f'(c)$$

即：

$$f(-2)-1=-2f'(c)$$

同理，根据拉格朗日中值定理，存在$d \in (0,2)$，使得：

$$f(2)-f(0)=(2-0)f'(d)$$

即：

$$f(2)-1=2f'(d)$$

将上述两个式子代入$f(-2)-1=-2f'(c)$中，得到：

$$f(-2)-f(2)=-2f'(c)-2f'(d)$$

又因为$f(x)$在$x=0$处连续，所以：

$$\lim\limits_{x \to 0}f(x-2)=f(0-2)=f(-2)$$

所以：

$$f(-2)-f(2)=-2f'(c)-2f'(d)=0$$

因此：

$$f(2)=1$$

2. 设$f(x)$在$x=0$处可导，$f'(0)=1$，$f(x+y)=f(x)f(y)$，求$f(x)$。

解析：根据$f(x+y)=f(x)f(y)$，我们可以得到：

$$f(x)=f(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2})=f(\dfrac{x}{2})^2$$

同理，可以得到：

$$f(\dfrac{x}{2})=f(\dfrac{x}{4})^2$$

$$f(\dfrac{x}{4})=f(\dfrac{x}{8})^2$$

$$\cdots$$

$$f(\dfrac{x}{2^n})=f(\dfrac{x}{2^{n+1}})^2$$

当$n \to \infty$时，$\dfrac{x}{2^n} \to 0$，所以：

$$\lim\limits_{n \to \infty}f(\dfrac{x}{2^n})=f(

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