国开电大复变函数形考任务3参考答案解析

国开电大复变函数形考任务3参考答案解析

本文将对国开电大2021年春季学期复变函数形考任务3的参考答案进行解析，帮助学生更好地理解和掌握复变函数的相关知识。

1. 题目概述

本次形考任务共分为两道题目，第一道题目要求求解函数$f(z)=\frac{1}{z^2-1}$在单位圆内的奇点、极点和留数，第二道题目要求证明$\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin x}{x}dx=\pi$。

2. 题目解析

第一道题目的解答过程如下：

（1）首先，我们需要求出函数$f(z)$在单位圆内的奇点和极点。通过对$f(z)$进行因式分解，可以得到$f(z)=\frac{1}{(z+1)(z-1)}$。因此，$z=-1$和$z=1$是函数$f(z)$在单位圆内的两个极点。

（2）接下来，我们需要求出函数$f(z)$在极点$z=1$和$z=-1$处的留数。根据留数定理，当$f(z)$在点$z_0$处有一阶极点时，其留数为$Res(f(z),z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$。因此，当$z=1$时，有：

$$Res(f(z),1)=\lim_{z\to 1}(z-1)\frac{1}{(z+1)(z-1)}=\frac{1}{2}$$

当$z=-1$时，有：

$$Res(f(z),-1)=\lim_{z\to -1}(z+1)\frac{1}{(z+1)(z-1)}=-\frac{1}{2}$$

因此，函数$f(z)$在单位圆内的极点$z=1$和$z=-1$处的留数分别为$\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{2}$。

第二道题目的解答过程如下：

（1）首先，我们需要证明引理：$\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}$。证明过程如下：

令$I(\alpha)=\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}e^{-\alpha x}dx$，则有：

$$I'(\alpha)=-\int_0^\infty\sin x\cdot e^{-\alpha x}dx=-\frac{1}{1+\alpha^2}$$

因此，$I(\alpha)=\arctan(\frac{1}{\alpha})+C$，其中$C$为常数。由于$\lim_{\alpha\to\infty}I(\alpha)=0$，因此$C=0$，即$I(\alpha)=\arctan(\frac{1}{\alpha})$。当$\alpha\to 0$时，$I(\alpha)\to\frac{\pi}{2}$，因此$\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}

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