微积分（上）

0201《微积分（上）》2019年06月期末考试指导

一、考试说明

考试题型包括：

选择题、填空题、计算题、证明题

考试时间：90分钟。

二、课程章节要点

第一章、函数、极限、连续、实数的连续性

(一)函数

1．考试内容

集合的定义，集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法，分段函数，反函数，复合函数，隐函数，函数的性质(有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。

2．考试要求

(1)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。

(2)理解函数的概念。掌握函数的表示法，会求函数的定义域。

(3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。

(4)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。

(5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。

(二)极限

1．考试内容

数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质，函数的左极限与右极限，无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限。

2．考试要求

(1)理解数列及函数极限的概念

(2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

(3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性)。掌握极限的四则运算法则。

(4)理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。

(5)掌握用两个重要极限求极限的方法。

(三)连续

1．考试内容

函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点，连续函数的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，零点定理)。

2．考试要求

(1)理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。

(2)掌握连续函数的四则运算法则。

(3)了解复合函数、反函数和初等函数的连续性。

(4)了解闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，零点定理)。

第二章、一元函数微分学

(一)导数与微分

1．考试内容

导数与微分的定义，左导数与右导数，导数的几何意义，函数的可导性、可微性与连续性的关系，导数与微分的四则运算，导数与微分的基本公式，复合函数的求导法，隐函数的求导法，高阶导数。

2．考试要求

(1)理解导数的概念及其几何意义。了解左导数与右导数的概念。

(2)了解函数可导性、可微性与连续性的关系。

(3)会求平面曲线上一点处的切线方程和法线方程。

(4)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法。

(5)会求隐函数的一阶导数。

(6)了解高阶导数的概念。会求函数的二阶导数。

(7)了解微分的概念。会求函数的微分。

(二)微分中值定理及导数的应用

1．考试内容

微分中值定理(罗尔定理、拉格朗日中值定理)，洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数的最大、最小值，函数图形的凹凸性与拐点。

2．考试要求

(1)了解罗尔定理、拉格朗日中值定理。

(2)熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

(3)掌握利用导数判断函数单调性的方法。

(4)理解函数极值的概念。掌握求函数的极值与最大、最小值的方法，并会求解简单的应用问题。

(5)会判断平面曲线的凹凸性。会求平面曲线的拐点。

第三章、一元函数积分学

(一)不定积分

1．考试内容

原函数与不定积分的概念，不定积分的基本性质，不定积分的基本公式，不定积分的换元积分法与分部积分法。

2．考试要求

(1)理解原函数与不定积分的概念。掌握不定积分的基本性质。

(2)熟练掌握不定积分的基本公式。

(3)熟练掌握不定积分的第一类换元法，掌握不定积分的第二类换元法(仅限于三角代换与简单的根式代换)。

(4)熟练掌握不定积分的分部积分法。

(二)定积分

1．考试内容

定积分的概念与基本性质，定积分的几何意义，变上限积分定义的函数及其导数，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的换元法与分部积分法，定积分的应用(平面图形的面积、旋转体的体积)。

2．考试要求

(1)理解定积分的概念。了解定积分的几何意义。掌握定积分的基本性质。

(2)理解变上限积分作为其上限的函数的含义，会求这类函数的导数。

(3)掌握牛顿-莱布尼茨公式。

(4)熟练掌握定积分的换元法与分部积分法。

(5)会应用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积。

(三)广义积分

1．考试内容

广义积分的概念与基本性质，广义积分的计算，广义积分的应用。

2．考试要求

(1)理解广义积分的概念。

(2)了解广义积分的实际背景和意义。

(3)掌握广义积分的基本性质。

(4)熟练掌握广义积分的计算。

三、练习题

一、单选题

1. 极限（   ）

A、 B、 C、 D、

2. 当时，下列函数为无穷小量的是（   ）

A、 B、 C、 D、

3. 设在可导，则=（   ）

A、0 B、 C、 D、

4. 设，则为（   ）

A、0 B、1 C、2 D、不存在

5. ，则此计算（   ）

A、正确 B、错误，因为 不存在

C、错误，因为不是未定式 D、错误，因为

6. 若为的极值点，则（   ）

A、必存在且 B、必存在但不一定为零

C、可能不存在 D、必不存在

7. 设为内连续的偶函数，则的图形（   ）

A、关于x轴对称 B、关于y轴对称

C、关于原点对称 D、关于直线对称

8. 设在上连续，在内可导，且，则在内曲线的所有切线中（  ）

A、至少有一条平行于x轴 B、至少有一条平行于y轴

C、没有一条平行于x轴 D、可能有一条平行于y轴

9. 下列关系式正确的是（   ）

A、 B、

C、 D、

10. 设为连续函数，则=（   ）

A、 B、 C、 D、

二、填空题

  1. 设，则

2. 曲线的拐点坐标是________________.

3. 设，则

4. 设在连续，则

5. 函数在上满足拉格朗日中值定理的

6.

7.

8.

计算题

1. 设函数，求

2. 设由方程确定的隐函数，求

3. 计算

4. 讨论函数在处的可导性.

5. 计算不定积分

6. 求定积分

7. 求函数的极值，并说明是极大值还是极小值.

四、证明题

证明：当时，

四、习题解答提示

一、单选题

CBACA    CBBCC

填空题

1.

2.

3. 3

4.

5.

6.   

7. 6

8.

三、计算题

1. ，两边对求导，得

2. 方程两边关于求导，得，

3.

4.

5.

6.

7. 为极大值.

四、证明题

令，则，，当时严格单增，但，所以当时，亦即

说明：本考试指导只适用于2019年06月期末考试使用，包括正考和重修内容。指导中的章节知识点涵盖考试所有内容，给出的习题为考试类型题，习题答案要点只作为参考，详见课程讲义或笔记。如果在复习中有疑难问题请到课程答疑区提问。最后祝大家考试顺利！