线性代数

0203《线性代数》2018年6月期末考试指导

一、考试说明

考试形式：闭卷(可带参考资料)

考试题型包括：选择题，填空题，简答题，计算题，证明题

考试时间：90分钟

二、课程章节要点

第一章  行列式

1、考试内容：

二阶、三阶及n阶行列式的概念、性质；低阶行列式及简单高阶行列式的计算；克莱姆法则。

2、考试重点：掌握行列式性质；熟练掌握低阶行列式及简单高阶行列式的计算；掌握利用克莱姆（Cramer）法则求解线性方程组的条件及利用克莱姆（Cramer）法则求解线性方程组。

第二章  矩  阵

1、考试内容：矩阵的概念；矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律；逆矩阵的概念及其存在的充要条件；求逆矩阵的方法；简单分块矩阵的计算；矩阵的秩；用初等变换求矩阵的秩及逆矩阵。

2、考试重点：矩阵运算，利用定义和初等变换求逆矩阵，矩阵的秩的概念及求解，初等变换的应用。

第三章  线性方程组

1、考试内容：线性方程组基本概念；高斯（Gauss）消元法；线性方程组解的讨论。

2、考试重点：用高斯（Gauss）消元法求解线性方程组及线性方程组的解的讨论。

第四章  n维向量空间

1、考试内容：n维向量；向量组的线性相关、线性无关概念及其有关的主要结论；理解向量组的最大无关组与向量组的秩的概念；n维向量空间Rn；线性方程组的基础解系、通解、解的结构。

2、考试重点：向量组线性相关及线性无关性的有关概念；向量组的最大无关组与向量组的秩；线性方程组的基础解系、通解、解的结构。

第五章  矩阵的对角化

1、考试内容：内积；欧氏空间；矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及其求法；相似矩阵；矩阵可对角化的条件；实对称矩阵的性质。

2、考试重点：矩阵特征值与特征向量的概念及求法；相似矩阵的相关结论；矩阵可对角化的条件及方法；实对称矩阵的性质。

第六章  二次型

1、考试内容：二次型及其矩阵表示；用正交变换化二次型为标准型；二次型的秩；二次型的正定性及其判别法。

2、考试重点：二次型的矩阵表示；用正交变换法化二次型为标准型；二次型的正定性及其判别法。

三、典型习题

单项选择

1、三阶行列式的值为（  ）

    （A）；   （B） －；   （C）；     （D）－

2、当λ＝（  ）时，方程，有非零解。

(A) 2 ；     （B）－2 ；       （C）0 ；        （D）3

3、若A为n阶可逆方阵，且 |A|＝，则 ＝（  ）

(A) ；  （B）；     （C）；      （D）

4、设A，B均为n阶方阵，则（  ）

    （A） ；

（B）；

（C）；(I为n阶单位矩阵)；

（D）

5、若A，B为n阶方阵，A可逆，且AB＝0，则（  ）

（A） B＝0 ；                   （B）B≠0 但 r（B）< n ；

（C）B≠0 但 r（A）< n ；      （D）B ≠0 但 A＝0

6、向量组＝（1, 0, -1），＝（1, 1, 0），＝（2, 1, -1），＝（0, 1, 1）的秩是（   ）

（A）1 ；        （B）2 ；         （C）3 ；        （D）4

7、设r（A）＝r，则（   ）

（A）A中任意r各列向量线性无关 ；  （B）A中前r个列向量线性无关 ；

（C）A中所有r个列向量线性相关；   （D）A有r个列向量线性无关

8、若A，B都是n阶可逆矩阵，则（   ）

（A）A+B也是可逆矩阵 ；           （B）A－B也是可逆矩阵 ；

（C）AB也是可逆矩阵；             （D）上面的选项中的结论都不一定对

9、在中，所有与＝（1，1，1），＝（1，2，1）都正交的单位向量是（   ）

    （A）（1，0，1） ；                （B）±（，0，－）；  

（C）（，0，） ；          （D）±（，0，－）

10、二次型＋＋2－2是正定的，则（   ）

（A） > ； （B）< ；  （C）>1 ；    （D）<1

填空题

1、若一个行列式的某一行的元素是另一行对应元素的2倍，则这个行列式的值为          .

2、设a1＝（2，1，－1），a2＝（3，1，－2），a3＝（－2，0，1），则 2a1＋a2－3a3＝          .

3、非齐次线性方程＝有解的充要条件是                        .

    4、设A，B，C都是n阶正交矩阵，则＝          .

    5、设二次型＝＋＋正定的充要条件是          .

简答题

1、说明为什么齐次线性方程组的所有解可以做成一个向量空间。

2、非齐次线性方程组与它的导出齐次线性方程组的解之间的关系。

四、 计算题

1、求解非齐次线性方程组：    

2、设A＝，B＝。求矩阵方程XA＝B的解。

五、证明题

设方阵A满足＝0，试证可逆，并求 。

四、习题答案：

一、选择题 BBBCA  BDCDB

二、填空题

1，0 ；    2，（13，3，－7） ；3，  r（）＝r（，） ；

       4，±1 ；    5，  。

三、简答题

1，按向量空间的定义验证；

2，如果一个非齐次线性方程组有解则它的导出齐次线性方程组一定有解，但反之不然，因为齐次线性方程组一定有解的。若一个非齐次线性方程组有唯一解，则它的导出齐次线性方程组也有唯一解。两个非齐次线性方程组的解的差为它的导出齐次线性方程组的解。非齐次线性方程组的通解可以写成它的一个特解与其导出齐次线性方程组的通解之和。

四、计算题

1，Ã。所以解为X＝＝＋＋ 。

2、先求=.

    于是X＝B＝＝ 。

       所以X＝A= .

五、证明题

＝0＝ 。

    所以可逆，且：＝ 。

说明：本考试指导只适用于201803学期期末考试使用，包括正考和重修内容。指导中的章节知识点涵盖考试所有内容，给出的习题为考试类型题，习题中未给出答案的部分请参考课程讲义或笔记，如果在复习中有疑难问题请到课程答疑区提问。最后祝大家顺利通过考试！