微积分（下）

0202《微积分（下）》2019年06月期末考试指导

一、考试说明

考试形式：闭卷

考试题型包括：选择题，填空题，计算题

考试时间：90分钟。

二、课程章节要点

第一章、广义积分和定积分的应用

（一）广义积分

1．知识范围

（1）广义积分的概念

（2）无穷积分的收敛性与判别法

（3）瑕积分的收敛性与判别法

2．考核要求

（1）理解无穷积分和瑕积分的概念及几何意义

（2）掌握非负函数无穷积分收敛性和比较判别法，了解阿贝尔和狄里克莱判别法

（3）知道瑕积分收敛性和比较判别法，了解阿贝尔和狄里克莱判别法

（二）定积分的应用

1．知识范围

（1）掌握定积分在几何计算平面图形的面积

（2）掌握定积分在几何计算旋转体的体积、曲线的弧长、旋转曲面的面积

（3）掌握定积分在物理上计算压力、功、重心等简单应用

2．考核要求

（1）掌握定积分在几何计算平面图形的面积

（2）掌握旋转体的体积、曲线的弧长、旋转曲面的面积的计算

（3）掌握定积分在物理上计算压力、功、重心等简单应用

第二章、级数

（一）数项级数

1．知识范围

（1）数项级数的概念级数的收敛与发散 级数的基本知识 级数收敛的必要条件

（2）正项级数敛散性判别法比较判别法 比值判别法

（3）一般项级数交错级数 绝对收敛 条件收敛 莱布尼兹判别法 积分判别法 阿贝尔判别法 狄里克莱判别法

2．考核要求

（1）掌握数项级数的概念级数的收敛与发散 级数的基本知识 级数收敛的必要条件

（2）熟练掌握正项级数敛散性的比较判别法和比值判别法

（3）掌握一般项级数、交错级数、绝对收敛、 条件收敛的概念

（4）掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法、了解任意项级数收敛的阿贝尔判别法和狄里克莱判别法

（二）函数列与函数项级数

1．知识范围

（1）函数列及其一致收敛性

（2）函数项级数及其一致收敛性

（3）函数项级数的一致收敛性判别法

（4）一致收敛函数列与函数项级数的性质

2．考核要求

（1）掌握函数列及其一致收敛性概念

（2）掌握函数项级数及其一致收敛性概念

（3）掌握一致收敛性M-判别法，了解阿贝尔判别法和狄里克莱判别法

（4）掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质

（三）幂级数

1．知识范围

（1）幂级数的概念幂级数的收敛区间和收敛半径  幂级数的展开

（2）幂级数的性质，幂级数的运算

（3）幂级数的展开

2．考核要求

（1）理解幂级数的概念  熟练掌握幂级数的收敛区间和收敛半径  

（2）掌握幂级数的性质  会幂级数的运算

（3）掌握简单初等函数的幂级数的展开

第三章、多元函数

（一）多元函数的极限与连续

1．知识范围

（1）多元函数与平面点集

（2）完备性定理

（3）二元函数的定义域二元函数的几何意义

（4）二元函数极限累次极限

（5）二元函数的连续性概念有界闭区域上连续函数的性质

2．考核要求

（1）理解多元函数与平面点集

（2）知道 上的完备性定理

（3）掌握二元函数的定义域理解二元函数的几何意义

（4）掌握二元函数极限的概念掌握累次极限的概念

（5）理解二元函数的连续性概念理解有界闭区域上连续函数的性质

（二）多元函数微分学

1．知识范围

（1）多元函数可微性与全微分的概念多元函数偏导数的概念 可微性的几何意义与应用

（2）复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分

（3）方向导数与梯度

（4）高阶偏导数中值定理和泰勒公式 极值问题

2．考核要求

（1）理解多元函数可微性与全微分的概念理解多元函数偏导数的概念 了解可微性的几何意义与应用

（2）掌握复合函数微分法熟练掌握复合函数的求导法则 掌握复合函数的全微分的求法

（3）掌握方向导数与梯度及计算

（4）掌握高阶偏导数的求法知道多元函数的微分中值定理和泰勒公式

（5）理解多元函数极值问题掌握二元函数自由极值求法

第四章、隐函数

1．知识范围

（1）隐函数概念  隐函数存在性条件的分析

（2）隐函数定理隐函数的求导

（3）隐函数组概念隐函数组定理 反函数组与坐标变换

（4）平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线

（5）条件极值

2．考核要求

（1）了解隐函数概念  了解隐函数存在性条件的分析  

（2）了解隐函数定理掌握隐函数的求导运算

（3）了解隐函数组概念了解隐函数组定理 了解反函数组与坐标变换

（4）掌握平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线的概念及计算

（5）掌握多元函数条件极值的拉格朗日乘数法

第五章、重积分

1．知识范围

（1）二重积分的概念  二重积分的可积条件 直角坐标系下的二重积分计算格林公式 曲线积分与路线无关性 二重积分的变量变换

（2）三重积分的概念三重积分的可积条件 直角坐标系下三重积分计算 三重积分的变量变换

（3）重积分的应用曲面的面积 重积分在物理学上的应用

2．考核要求

（1）理解二重积分的概念  理解二重积分的可积条件 熟练掌握直角坐标系下的二重积分计算熟练掌握极坐标系下的二重积分计算理解格林公式 理解曲线积分与路线无关性的条件 会二重积分的变量变换

（2）理解三重积分的概念理解三重积分的可积条件 掌握直角坐标系下三重积分计算 会三重积分的变量变换 会柱坐标系和球坐标系下三重积分的计算

（3）掌握重积分在几何上的应用掌握曲面的面积的计算 掌握重积分在物理学上的简单应用

第六章、微分方程初步

1．知识范围

（1）微分方程的概念，阶数判断

（2）一阶微分方程的解法

（3）可降阶的高阶微分方程的解法

（4）二阶常系数线性微分方程的解法

（5）二阶常系数线性微分方程的解法及其应用

2．考核要求

（1）理解微分方程的概念，熟练掌握阶数判断的方法

（2）理解一阶微分方程的解法，会进行计算

（3）掌握可降阶的高阶微分方程及其解法

（4）了解二阶常系数线性微分方程，它的解法，和在实际问题中的应用

三 练习题

一、单选题

1. 若级数收敛，则下列级数中收敛的是（   ）

A、 B、

C、 D、

2. 下列级数中，发散的是（   ）

A、 B、 C、 D、

3. 已知级数，，，则（   ）

A、当收敛时，发散 B、当发散时，发散

C、当发散时，发散 D、当发散时，收敛

4. 下列级数中，条件收敛的是（   ）

A、 B、

C、 D、

5. 已知，则=（   ）

A、 B、 C、 D、

6. 级数收敛的充要条件是（   ）

A、 B、

C、存在， D、

7. 下列级数中，绝对收敛的是（   ）

A、 B、

C、 D、

8. 下列级数中，发散级数是（   ）

A、 B、 C、 D、

9. 若级数发散，则级数（   ）

A、一定发散 B、一定收敛

C、可能收敛也可能发散 D、时收敛，时发散

10. 若级数收敛，则（   ）

A、 B、 C、 D、

11. 幂级数的和函数是（   ）

A、 B、 C、 D、

12. 幂级数的收敛半径是（   ）

A、1 B、2 C、 D、

13. 二元函数的定义域中x，y的限定关系为（   ）

A、 B、 C、 D、

14. 存在，则函数在点（   ）

A、一定不可微 B、一定可微 C、连续 D、有定义

15. 设在点处可微，且，则函数在点处（   ）

A、必有极值 B、必有极大值

C、必有极小值 D、不一定有极值

二、填空题

1. 幂级数的收敛半径为______________.

2. 幂级数的和函数为____________________________________.

3. 函数的定义域为____________________________.

4.

5. 设，

三、计算题

1. 求幂级数的和.（注：利用逐项积分）.

2. 利用已知幂级数展开式，将展成x的幂级数.

3. 判断级数的敛散性.

4. 方程，确定是和的函数，求

5. 判断交错级数的敛散性. 若收敛，请指出是条件收敛，还是绝对收敛，注明理由

6. 已知，求.

7. 求由方程所确定的隐函数在点的全微分.

四、习题答案

一、单选题

CDCDD CCAAB DCCDD

二、填空题

1. .        2.           3.

4. 0.          5.

三、计算题

1. 令，所以

2.

3. ，而收敛（达朗倍尔判别法），因此原级数收敛.

4. ，

5. ，而收敛，故绝对收敛.

6. .

7.

说明：本考试指导只适用于2019年06月期末考试使用，包括正考和重修内容。指导中的章节知识点涵盖考试所有内容，给出的习题为考试类型题，习题中未给出答案的部分请参考课程讲义或笔记，如果在复习中有疑难问题请到课程答疑区提问。最后祝大家顺利通过考试！