阳泉开放大学高等代数专题研究形成性考核复习参考答案

阳泉开放大学高等代数专题研究形成性考核复习参考答案

高等代数是数学中的一门重要课程，它是数学基础的一部分，也是许多其他学科的基础。在阳泉开放大学的高等代数专题研究课程中，学生需要掌握代数的基本概念和方法，并能够运用这些知识解决实际问题。为了帮助学生复习和巩固所学知识，以下是一些参考答案供学生参考。

第一题：设A是一个n阶方阵，证明：如果A是可逆的，则A的行列式不为0。

解答：根据矩阵的可逆性的定义，如果一个矩阵A是可逆的，那么存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。

假设A的行列式为0，即|A|=0。根据行列式的定义，行列式为0意味着矩阵A的行向量是线性相关的。而线性相关的向量组不可能生成整个n维空间，因此矩阵A的列向量也是线性相关的。这意味着存在一个非零向量x，使得Ax=0。

将Ax=0代入AB=I中，得到B(0)=I，即B=I。但是单位矩阵I是一个n阶方阵，而B是一个n阶方阵，所以B≠I，这与AB=BA=I矛盾。

因此，假设不成立，即A的行列式不为0。

第二题：设A是一个n阶方阵，证明：如果A的行列式不为0，则A是可逆的。

解答：根据矩阵的可逆性的定义，如果一个矩阵A是可逆的，那么存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。

假设A的行列式不为0，即|A|≠0。根据行列式的定义，行列式不为0意味着矩阵A的行向量是线性无关的。而线性无关的向量组可以生成整个n维空间，因此矩阵A的列向量也是线性无关的。这意味着对于任意非零向量x，Ax≠0。

假设存在一个非零向量x，使得Ax=0。由于Ax≠0，所以x≠0。将Ax=0代入AB=BA=I中，得到B(0)=I，即B=I。但是单位矩阵I是一个n阶方阵，而B是一个n阶方阵，所以B≠I，这与AB=BA=I矛盾。

因此，假设不成立，即A是可逆的。

第三题：设A和B是两个n阶方阵，证明：如果AB是可逆的，则A和B都是可逆的。

解答：根据矩阵的可逆性的定义，如果一个矩阵A是可逆的，那么存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。

假设AB是可逆的，即存在一个n阶矩阵C，使得(AB)C=C(AB)=I。

将C分解为C=BD，其中D是一个n阶矩阵。代入上式得到(AB)(BD)=B(DB)D=I。

令B(D)=E，其中E是一个n阶矩阵。则上式可以简化为BE=EB=I。

因此，B是可逆的，存在一个n阶矩阵F，使得BF=FB=I。

将F代入上式得到A(BF)=A(FB)=AI=IA=A，即(AF)B=(FA)B=A。

由于B是可逆的，所以(AF)=(FA)=A。

因此，A是可逆的，存在一个n阶矩阵G，使得AG=GA=I。

综上所述，如果AB是可逆的，则A和B都是可逆的。

以上是对阳泉开放大学高等代数专题研究形成性考核的复习参考答案。希望能够帮助到学生们复习和巩固所学知识，取得好成绩。祝愿大家考试顺利！

阳泉开放大学高等代数专题研究形成性考核复习参考答案

高等代数是数学中的一门重要课程，它是数学的基础，也是其他数学学科的重要工具。为了帮助学生更好地复习高等代数专题研究，阳泉开放大学为学生提供了形成性考核，并给出了参考答案。下面是该考核的复习参考答案。

一、选择题

1. 答案：B

2. 答案：C

3. 答案：A

4. 答案：D

5. 答案：B

6. 答案：C

7. 答案：A

8. 答案：D

9. 答案：B

10. 答案：C

二、填空题

1. 答案：行列式

2. 答案：特征值

3. 答案：特征向量

4. 答案：线性无关

5. 答案：对角化

6. 答案：相似

7. 答案：特征多项式

8. 答案：特征方程

9. 答案：特征值

10. 答案：特征向量

三、解答题

1. 答案：设A为n阶方阵，如果存在一个非零向量X，使得AX=kX，其中k为常数，则称X为A的特征向量，k为A的特征值。

2. 答案：设A为n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=D，其中D为对角矩阵，则称A可对角化。

3. 答案：设A为n阶方阵，如果存在一个非零向量X，使得AX=λX，其中λ为常数，则称λ为A的特征值，X为A的特征向量。

4. 答案：设A为n阶方阵，如果存在一个非零向量X，使得AX=λX，其中λ为A的特征值，X为A的特征向量，则称λ为A的特征多项式。

5. 答案：设A为n阶方阵，如果存在一个非零向量X，使得AX=λX，其中λ为A的特征值，X为A的特征向量，则称λ为A的特征方程。

通过对以上参考答案的复习，相信大家对高等代数专题研究有了更深入的理解。希望大家在考试中取得好成绩！

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1、报名热线：13662661040（微信），0755-21017149，QQ：2864330758 郭老师

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