邢台开放大学高等代数专题研究形成性考核复习参考答案
高等代数是数学中的一门重要课程，它是数学的基础，也是其他数学学科的重要工具。邢台开放大学高等代数专题研究形成性考核是对学生对高等代数知识的掌握程度进行评估的重要环节。下面是对该考核的复习参考答案。
第一题：设A是一个n阶方阵，证明：如果A可逆，则A的转置矩阵也可逆，并且(A的转置矩阵)的逆等于A的逆的转置矩阵。
解答：设A是一个n阶方阵，且A可逆。根据矩阵的性质，我们知道，如果一个矩阵可逆，则它的转置矩阵也可逆，并且它的逆等于原矩阵的逆的转置矩阵。所以，我们只需要证明(A的转置矩阵)的逆等于A的逆的转置矩阵即可。
设B是A的转置矩阵，即B = A^T。根据矩阵的性质，我们知道，(AB)^T = B^T * A^T。所以，(AB)^T = (A^T)^T * (B^T)^T = BA。
由于A可逆，所以存在一个矩阵C，使得AC = CA = I，其中I是单位矩阵。所以，(AB)^T = BA = I。这说明，AB是可逆的，并且它的逆等于A的逆的转置矩阵。
综上所述，如果A是一个可逆矩阵，则A的转置矩阵也可逆，并且(A的转置矩阵)的逆等于A的逆的转置矩阵。
第二题：设A是一个n阶方阵，证明：如果A是一个对称矩阵，则A的特征值都是实数。
解答：设A是一个n阶对称矩阵。根据矩阵的性质，我们知道，对称矩阵的特征值都是实数。所以，我们只需要证明A的特征值都是实数即可。
设λ是A的一个特征值，v是对应于特征值λ的特征向量。根据特征值和特征向量的定义，我们知道，Av = λv。
将上述等式两边同时取共轭，得到(Av)^* = (λv)^，其中表示共轭。根据矩阵的性质，我们知道，(Av)^* = v^* * A^，(λv)^ = λ^* * v^*。
所以，v^* * A^* = λ^* * v^。由于A是一个对称矩阵，所以A^ = A。所以，v^* * A = λ^* * v^*。
将上述等式两边同时取共轭，得到(Av)^* = (λv)^*，即Av = λv。所以，λ是A的一个特征值，v是对应于特征值λ的特征向量。
由于v是一个非零向量，所以v^* * v ≠ 0。所以，λ^* * v^* * v ≠ 0。由于λ^是一个复数，所以λ^ * v^* * v = λ * v^* * v。
所以，λ * v^* * v ≠ 0。由于v^* * v ≠ 0，所以λ ≠ 0。所以，λ是一个非零实数。
综上所述，如果A是一个对称矩阵，则A的特征值都是实数。
通过对以上两道题目的复习，我们可以加深对高等代数知识的理解和掌握。希望大家在考核中取得好成绩！
邢台开放大学高等代数专题研究形成性考核复习参考答案
一、选择题
1. B
2. C
3. A
4. D
5. B
6. C
7. A
8. D
9. B
10. C
二、填空题
1. 5
2. 3
3. 4
4. 2
5. 1
三、解答题
1. (1) 设A为n阶方阵，若存在n阶可逆方阵P和Q，使得P^-1AQ为对角阵，则称A为可对角化矩阵。
(2) 可对角化矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
%1. (1) 设A为n阶方阵，若存在n阶可逆方阵P和对角阵D，使得P^-1AP=D，则称A为相似对角阵。
(2) 相似对角阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
%1. (1) 设A为n阶方阵，若存在n阶可逆方阵P和上三角阵U，使得P^-1AP=U，则称A为相似上三角阵。
(2) 相似上三角阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
%1. (1) 设A为n阶方阵，若存在n阶可逆方阵P和下三角阵L，使得P^-1AP=L，则称A为相似下三角阵。
(2) 相似下三角阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
%1. (1) 设A为n阶方阵，若存在n阶可逆方阵P和对角阵D，使得P^-1AP=D，则称A为相似对角阵。
(2) 相似对角阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
四、证明题
1. 设A为n阶方阵，若A可对角化，则A的特征多项式有n个不同的根。
证明：设A可对角化，则存在n阶可逆方阵P和对角阵D，使得P^-1AP=D。
设A的特征多项式为f(x)=|A-xI|，其中I为n阶单位矩阵。
由于D为对角阵，所以D的特征多项式为g(x)=|D-xI|=|diag(d1-x, d2-x, ..., dn-x)|=(d1-x)(d2-x)...(dn-x)。
由于P^-1AP=D，所以f(x)=|A-xI|=|P^-1AP-xI|=|P^-1(A-xI)P|=|P^-1||A-xI||P|=|P^-1||D-xI||P|=|P^-1||diag(d1-x, d2-x, ..., dn-x)||P|=(d1-x)(d2-x)...(dn-x)=g(x)。
由于D为对角阵，所以g(x)有n个不同的根，即f(x)也有n个不同的根。
所以，若A可对角化，则A的特征多项式有n个不同的根。
%1. 设A为n阶方阵，若A的特征多项式有n个不同的根，则A可对角化。
证明：设A的特征多项式为f(x)=|A-xI|，其中I为n阶单位矩阵。
由于f(x)有n个不同的根，设这些根为λ1, λ2, ..., λn。
由特征多项式的定义可知，f(λi)=|A-λiI|=0，即(A-λiI)x=0有非零解。
所以，对于每个特征值λi，存在非零向量xi，使得(A-λiI)xi=0。
设P=[x1, x2, ..., xn]，则P为n阶方阵，且P^-1存在。
对于任意向量b，设b=Pc，其中c为n维列向量。
则有(A-λiI)b=(A-λiI)Pc=P(A-λiI)c=0。
所以，对于任意向量b，存在c，使得(A-λiI)b=0。
即，A可对角化。
所以，若A的特征多项式有n个不同的根，则A可对角化。
以上就是邢台开放大学高等代数专题研究形成性考核复习参考答案，希望对大家的复习有所帮助。祝大家考试顺利！
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