吉林开放大学高等数学基础形成性考核复习参考答案
一、选择题
1. B
2. C
3. A
4. D
5. B
6. C
7. A
8. D
9. B
10. C
二、填空题
1. 3
2. 5
3. 4
4. 2
5. 1
三、计算题
1. 解：设函数f(x) = x^2 - 2x - 3，求f(x) = 0的解。
根据二次方程的求根公式，有：
x = (-(-2) ± √((-2)^2 - 4 * 1 * (-3))) / (2 * 1)
= (2 ± √(4 + 12)) / 2
= (2 ± √16) / 2
= (2 ± 4) / 2
所以，x1 = (2 + 4) / 2 = 3，x2 = (2 - 4) / 2 = -1。
所以，方程f(x) = 0的解为x = 3和x = -1。
2. 解：求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5的导数。
根据导数的定义，有：
f'(x) = lim(h→0) [(f(x + h) - f(x)) / h]
= lim(h→0) [(2(x + h)^3 - 3(x + h)^2 + 4(x + h) - 5 - (2x^3 - 3x^2 + 4x - 5)) / h]
= lim(h→0) [(2(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - 3(x^2 + 2xh + h^2) + 4x + 4h - 5 - 2x^3 + 3x^2 - 4x + 5) / h]
= lim(h→0) [(2x^3 + 6x^2h + 6xh^2 + 2h^3 - 3x^2 - 6xh - 3h^2 + 4x + 4h - 5 - 2x^3 + 3x^2 - 4x + 5) / h]
= lim(h→0) [(6x^2h + 6xh^2 + 2h^3 - 6xh - 3h^2 + 4h) / h]
= lim(h→0) [6x^2 + 6xh + 2h^2 - 6x - 3h + 4]
= 6x^2 - 6x + 4。
所以，函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5的导数为f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
四、证明题
证明：对于任意实数x，有x^2 ≥ 0。
证明过程：
1. 当x = 0时，有0^2 = 0，显然成立。
2. 当x > 0时，有x^2 = x * x > 0 * 0 = 0，显然成立。
3. 当x < 0时，设y = -x，则y > 0。此时，有x^2 = (-y)^2 = y * y > 0 * 0 = 0，显然成立。
综上所述，对于任意实数x，有x^2 ≥ 0成立。
五、应用题
某商品的定价为100元，商家打算在原价的基础上进行折扣促销。如果打8折，求促销后的价格。
解：打8折即为原价的80%，所以促销后的价格为100 * 80% = 80元。
六、解答题
解：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求f(x)的极值点和极值。
首先，求f'(x)的零点，即求f(x)的驻点。
f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 = 0
x = (-(-6) ± √((-6)^2 - 4 * 3 * 2)) / (2 * 3)
= (6 ± √(36 - 24)) / 6
= (6 ± √12) / 6
= (6 ± 2√3) / 6
= 1 ± √3/3
所以，f(x)的驻点为x = 1 + √3/3和x = 1 - √3/3。
然后，求f''(x)的符号。
f''(x) = 6x - 6
当x < 1 - √3/3时，f''(x) < 0；
当1 - √3/3 < x < 1 + √3/3时，f''(x) > 0；
当x > 1 + √3/3时，f''(x) < 0。
所以，f(x)的极值点为x = 1 + √3/3和x = 1 - √3/3，极值为极大值和极小值。
综上所述，函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1的极值点为x = 1 + √3/3和x = 1 - √3/3，极值为极大值和极小值。
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