试卷代号：1079
2019年春季学期期末统一考试
高等代数专题研究试题（半开卷）
2019年7月
一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）
1.设多项式f(x)，g(x)∈P[x]互素，即有(f(z)，g(z))=1，则下列结论错误的是( ).
A.(f(x),f(x),+ g(x))=1B.(g(x)，f(x)- g(x))=1
C.(f(x) + g(x),f(x)- g(x))=1D.(f(x) g(x),f(x))=1
2.全体正实数的集合R+对于下面定义的加法与标量乘法：ab =ab，k·a=ak构成R上的线性空间，则R+的零向量为( ).
A.0B.1
C.2D.3
3.设A是线性空间V的线性变换，a，β是A的分别属于特征值λ与μ的特征向量，则( ).
A.若a与β线性相关，则λ≠μB.若a与β线性无关，则λ≠μ
C.若λ=μ，则a与β线性相关D.若λ≠μ，则a与β线性无关
4.设σ是n维欧氏空间V上的线性变换，盯在基a1，a2，…，an下的矩阵为对称矩阵A，则( ).
A.当a1，a2，…，an为标准正交基时，σ为对称变换
B. σ为可逆变换
C. σ为对称变换
D. σ为正交变换
5.设A是正定矩阵，则下列结论错诶的是( ).
A.IAI>0B.A的主对角线上的元素全为正
C.A的元素全为正D.A是非退化的
二、填空题（本题共20分，每小题4分）
6.多项式f(x)=x4-2x3+2x2-1的有理根为________ .
7.向量组a1=(1，2，3)，a2=(1，0，0)，a3=(10，19，30)线性_______.
8.如果存在可逆矩阵T，使得T-1AT为______，则n阶方阵A称为可对角化.
9.若欧几里得空间V上的线性变换A保持向量长度不变，则A是一变换.
10.双线性函数，非退化的充分必要条件是它的度量矩阵M__________.
三、计算题（本题共45分，每小题15分）
11.已知β1=(1，1，1)，β2=(1，0，1，-1)，β3=(1，-2，1，-5)，求W=L(β1，β2，β3)的基与维数.
12.设A=，求一个正交矩阵T，使T-1AT=TTAT为对角矩阵.
13.将三元二次型f=2x1x2+2 x1x3-2 x2x3化为标准形.
四、证明题（本题15分）
14.证明：若A为可逆矩阵，则它的特征值均非零.
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