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试卷代号：1079
国家开放大学2021年秋季学期期末统一考试
高等代数专题研究 试题
2022年1月
一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）
1.关于数域P上的一元多项式，下列结论正确的是( ).
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A.可约一定有根 B.不可约一定无根
C.有根一定可约 D.无根未必不可约
2.设Vl，V2都是线性空间V的子空间，则下列集合中，不一定是V的子空间的是( ).
A.V1 +V2 B. V1 V2
C. V1 V2 D. V1 V2｛0}
3.设A为n阶方阵，则A可对角化的充分必要条件是( ).
A.A有n个不同的特征值 B.A有n个相同的特征值
C. A有礼个不同的特征向量 D.A有n个线性无关的特征向量
4.设A是n阶实矩阵，则A是正交矩阵的充分必要条件为( ).
A.A-1 =AT
B.|A|=±1
C.A的每列元素的平方和等于1
D.A的不同列的对应元素乘积之和等于O
5.设A是正定矩阵，则下列结论错误的是( ).
A.|A|＞0 B.A是对角矩阵
C.A是可逆矩阵 D.A相合于单位矩阵
二、填空题（本题共20分，每小题4分）
6.设多项式f(x)，g(x)不全为O,d（x）=（f(x），g(x)），则（，）= .
7.从基，，到基+，+，的过渡矩阵T= 。
8.设A，B都是n阶方阵.如果存在n阶可逆矩阵T，使得T-1AT=B，则称矩阵A与B
_______________.
9.对欧氏空间V中的向量，，有|(，)|≤，而且等号成立当且仅当与
___ ___.
10.双线性函数f是对称的充分必要条件是它的度量矩阵是 矩阵.
三、计算题（本题共45分，每小题15分）
11.求多项式f(x)=4x3 - 4x2+ 3x -1的有理根.
12.设R3的线性变换定义如下：(x1，x2，x3)=(3x2 – 2x3，xl+3x3，x1-x2)，求
在基1=(1，O，0)，2 =(0，1，O)，3=(O，0，1)下的矩阵.
13.设A=，求一个正交矩阵T，使T-lAT=TTAT为对角矩阵。
四、证明题（本题15分）
14.如果A，B都是正定实对称矩阵，证明：A+B也是正定实对称矩阵.
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