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试卷代号：1079
国家开放大学2021年春季学期期末统一考试
高等代数专题研究 试题
2021年7月
一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）
1.下列运算中，（ ）是有理数域Q上的代数运算.
A.a。b=aB.a。b=b
C.a。b=abD.a。b=a
2.按通常数的加法与乘法，复数域C可以看成实数域R上的线性空间，则它的维教是（ ）.
A.0B.1
C.2D.无限
3.矩阵A与B相似的充分必要条件是（ ）.
A.A与B的特征多项式相等B.A与B的行列式相等
C.A与B的秩相等D.存在可逆矩阵T，使T-1AT = B
4.设A是正交矩阵，则下列选项中错误的是（ ）.
A.A2=E
B.AT=A-1
C.A的每一行的元素的平方和等于1
D.A的不同行的对应元素乘积之和等于O
5.设A是n阶实对称矩阵，则A是正定的充分必要条件是（ ）.
A.A的行列式大于零
B.存在矩阵C，使得A=CTC
C.A的特征值全为正
D.存在n维非零向量X，使得XTAX>O
二、填空题（本题共20分，每小题4分）
6.实数域上的不可约多项式的次数是 次的.
7.向量组a=(0，O，1)，β=（0，1，2)，γ=(a，3，5)线性相关，则a = .
8.设A是线性空间V的线性变换，则A的属于不同特征值的特征向量线性
_________________________.
9.设σ是欧氏空间V的对称变换，则σ在V的标准正交基下的矩阵是 .
10.线性空间V上的双线性函数f(α，β)在不同基下的度量矩阵 .
三、计算题（本题共45分，每小题15分）
11.设R3的线性变换σ定义如下：σ(x1，x2，x3)=(2x1-x2，x2-x3，x2+x3)，求σ在基ε1=(1，O，O)，ε2=(0，1,0)，ε3=(0，O，1)下的矩阵.
12.设A=，求一个正交矩阵T，使T -1AT = T TAT为对角矩阵.
13.求λ取何值时，下面的实二次型是正定的
f(x1，x2,x3)= +4+4+2λx1x3-2x1x3+4x2x3.
四、证明题（本题15分）
14.设，f(x)，g(x)是数域P上的一元多项式，且f(x)，g(x)=1，证明：
(f(x)·f(x)+g(x))=1.
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