超尔星学雅习通工程数学作业答案

工程数学

学校: 无

问题 1: 1. 设A,B,C是n阶矩阵,且ABC = E ,则必有

选项:

• A. CBA = E

• B. BCA = E

• C. BAC = E

• D. ACB = E

答案: BCA = E

问题 2: 2. 设A,B都是n阶可逆矩阵,则

选项:

• A. A+B 是n阶可逆矩阵

• B. A+B 是n阶不可逆矩阵

• C. AB是n阶可逆矩阵

• D. |A+B| = |A|+|B|

答案: AB是n阶可逆矩阵

问题 3: 1. 共轭、转置和共轭转置等符号均可与求逆符号交换,即有(A¤)¡1 = (A¡1)¤; (AT)¡1 = (A¡1)T; (AH)¡1 = (A¡1)H因此,常常分别采用紧凑的数学符号A¡¤;A¡T和A¡H。

选项:

答案: 正确

问题 4: 2. 对于任意矩阵A,矩阵B = AHA都是Hermitian 矩阵。若A可逆,则对于Hermitian矩阵B = AHA,有A¡HBA¡1 = A¡HAHAA¡1 = I。

选项:

答案: 正确

问题 5: 3. 奇异/非奇异矩阵:一个n £ n矩阵A是非奇异的,当且仅当矩阵方程Ax = 0只有零解x = 1。若A不是非奇异的,则称A 奇异。

选项:

答案: 错误

问题 6: 1. 方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的,因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A),rk(A)或rank(A)

选项:

答案: 正确

问题 7: 2. m × n矩阵的秩最大为m和n中的较小者,表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩;类似的,否则矩阵是秩不足(或称为“欠秩”)的。

选项:

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问题 8: 3. 在m*n矩阵A中,任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵,此子矩阵的行列式,称为A的一个k阶子式。

选项:

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问题 9: 4. A=(aij)m×n的为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩,记作rA,或rankA或R(A)。

选项:

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问题 10: 5. 矩阵的秩引理 设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n,则A的列秩,秩都等于n。
定理 矩阵的行秩,列秩,秩都相等。
定理 初等变换不改变矩阵的秩。
定理 矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};
当r(A)<=n-2时,最高阶非零子式的阶数<=n-2,任何n-1阶子式均为零,而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号,所以伴随阵为0矩阵。
当r(A)<=n-1时,最高阶非零子式的阶数<=n-1,所以n-1阶子式有可能不为零,所以伴随阵有可能非零(等号成立时伴随阵必为非零)。

选项:

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问题 11: 6. 变化规律(1)转置后秩变大
(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵
(3)r(kA)=r(A),k不等于0
(4)r(A)=0 <=> A=0
(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)
(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))
(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)

选项:

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问题 12: 7. P,Q为可逆矩阵, 则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)

选项:

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问题 13: 1. 特征值、特征向量:设A是数域P上线性空间V的一个线性变换, 如果对于数域P中的一个数0存在一个非零向量

选项:

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问题 14: 2. 对于一个矩阵,如何寻找一个适当的变换,在将其变为简单矩阵的同时,保留原矩阵的一些重要特征,这是矩阵论中一个非常重要的问题.

选项:

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问题 15: 3. 矩阵的特征值、特征向量和仿真的对角化理论与方法是矩阵理论的重要组成部分,它不仅在数学的各个分支有重要作用,而且在其他学科如工程技术、数量经济分析等领域有着广泛的应用.

选项:

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问题 16: 4. 特征向量α就是齐次线性方程组

选项:

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问题 17: 5. N阶矩阵A与 A^T 有相同的特征值.

选项:

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问题 18: 6. 当特征值为单根时,对应的线性无关特征向量个数只能是一个.

选项:

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问题 19: 1. 向量组只包含一个向量a时,a为0向量,则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。

选项:

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问题 20: 2. 含有相同向量的向量组必线性相关

选项:

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问题 21: 3. 减少向量的个数,不改变向量的无关性。【整体无关,局部无关】

选项:

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问题 22: 4. 一个向量组线性相关,则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。【相关组的缩短组仍相关】

选项:

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问题 23: 5. 若向量组所包含向量个数等于分量个数时,判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零,则向量组线性相关;否则是线性无关的。

选项:

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问题 24: 6. 向量a1,a2, ···,an(n≧2)线性相关的充不必要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合

选项:

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问题 25: 7. 一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。

选项:

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问题 26: 8. 两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性不相关

选项:

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问题 27: 9. 三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。

选项:

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问题 28: 10. 行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算 特别地,向量的加法,向量的数乘,称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律

选项:

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问题 29: 1. 设n维向量x = 1 √n(1 1 ⋯ 1)^T,n ≥ 2, B = I − xx^T其中I为单位矩阵,则下列选项正确的是

选项:

• A. ‖B‖1 = 1

• B. ‖B‖∞ = 1

• C. ‖B‖2 = 1

• D. ‖B‖F = 1

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问题 30: 1. 设A为正交矩阵,则下列不一定是正交矩阵的是

选项:

• A. AT

• B. A^3

• C. A^(-1)

• D. .kA(k≠0)

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问题 31: 2. 设A,B为n阶矩阵,且A与B相似,E为n阶单位矩阵,则

选项:

• A. λE-A=λE-B

• B. A与B有相同的特征值和特征向量

• C. A与B都相似于一个对角矩阵

• D. 对于任意常数t,tE-A与E-B相似

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问题 32: 1. 设向量组 可由向量组α1,α2,...αm线性表示,但不能由向量组,(I)α1,α2,...αm-1 线性表示,记向量组(II):α1,α2,...αm-1β则(b )。

选项:

• A. αm不能由(I)线性表示,也不能由(II)线性表示

• B. αm不能由(I)线性表示,但能由(II)线性表示

• C. αm能由(I)线性表示,也能由(II)线性表示

• D. αm能由(I)线性表示,但不能由(II)线性表示

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问题 33: 1. 设A是n阶对称矩阵,B是n阶反对称矩阵,则下列矩阵中反对称矩阵为

选项:

• A. AB+BA

• B. AB-BA

• C. AB

• D. BAB

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问题 34: 1. 设A是实的反对称矩阵, 则下列命题正确的是

选项:

• A. eA是实的反对称矩阵

• B. eA是正交矩阵

• C. cos A是实的反对称矩阵

• D. sin A是实的对称矩阵

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问题 35: 1. 设方阵A幂收敛到方阵B, 则下列说法

选项:

• A. |B| = 0

• B. B是幂等矩阵

• C. AB = BA = B

• D. r(A) ≥ r(B)

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问题 36: 1. 设A是5×6矩阵,则下列结论正确的是

选项:

• A. 若R(A)= 4,则A中5阶子式都为0

• B. 若R(A)= 4,则A中4阶子式都不为0

• C. 若A中5阶子式都为0,则R(A)= 4

• D. 若A中存在不为0的4阶子式,则R(A)= 4

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问题 37: 2. 对于n阶实对称矩阵A,下列结论正确的是

选项:

• A. 一定有n个不同的特征值

• B. 存在正交矩阵P,使 为对角矩阵

• C. 它的特征值一定是整数

• D. 对应不同特征值的特征向量不一定正交

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